从集合到无穷

1 潜无穷与实无穷

潜无穷

从古希腊到康托之前的大多数哲学家和数学家对无穷的认识都持有“潜无穷”的观点，他们认为无穷是一个永远延伸着的过程（即在不断创造这永远完不了的），它只是一种表达的方式，而不是一个实体。也就是庄子里的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这个过程永远不会停止下去。按着这样的观点，直线可以无限延展，不会有终结的，上面的点是无穷多的。

再如，可以想象把一个个自然数写在一张张小纸条上，从0、1、2写起，每写一张，就把该纸条装到一个非常大的袋子里，那么这个过程永无终止。因此，把装有所有全体自然数的袋子视为一个实体是不可能的，它只存在于人们的思维之中，称之为“潜无穷”。

实无穷

康托对上述观念提出了质疑，他认为把无穷的整体本身作为一个实体，即把无穷作为对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。

譬如，按着康托的观点，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段是有限的。再如，全体自然数可以构成一个集合$N={0,1,2,\dots,n,\dots}$，即把装有所有自然数的袋子视为一个完整的实体，即称为“实无穷”。

思考一下，我们在学习微积分的时候，所牵涉到的无穷是一个潜无穷还是实无穷

2 对等

问题： 一个无穷集合中到底有多少个元素？

我们可以进行尝试回答

方法1 计数。 对于有多少个这样的问题，我们从幼儿园就开始解决了，我们自然的做法是从0开始计数，但是对于无穷集合，这个方法好像失效了，因为无穷本身就代表着数不完的含义。

方法2 一一对应。康托提出了利用一个标准集合来计量无穷集合的元素个数的思想，就是将待计数的集合A与一个标准集合进行比较，如果两个集合的元素能够建立一个一一对应的关系，那么集合A中的元素数量与标准集合B的元素数量是相等的。

思考：这其实和我们生活中的经验是相符合的，比如问两袋子米哪个数量多（假设米的大小和密度是统一均匀的），我们通常不回去数个数，而是通过称重或者体积等方法来判断，因为我们事先规定了标准。

再进一步想一想，其实我们在计数的时候已经在做一种对应的方法了，即我们潜在的方法就是将被计数的对象与一个计数系统进行匹配。这个天然的计数系统就是自然数集合.

问题 伽利略问题（1683）

设$A=N={0,1,2,\cdots,n,\cdots}$，$B=N={0,4,9,\cdots,n^2,\cdots}$。显然，$B \subset A$。这样似乎$B$的元素少于$A$。但是由于$f:A\rightarrow B$， $f(x)=x^2$是单射，因此$B$的元素并不比$A$少，这意味着部分不小于整体？如果是这样的，那这与传统观念——部分小于整体——不是矛盾了吗？

部分小于整体，这是我们根据直观经验，和在有限集合上面的不可打破的定理。

如果按着之前的想法，两个集合的元素能够建立对应关系，那么这两个集合中的元素数量应该是一样多的，但这与我们的直观观念发生了矛盾？

那我们应该怎么办。避而不谈？还是放弃我们的假设？或者是找到新的方法来补充这个漏洞？

引入概念 定义: 对等

为了解决这个问题，看一下数学家康托是怎么来解决的，是的，他首先引入了一个概念。大家是不是有点摸不着头脑，不是说要解决这个问题吗？咋又引入了新的概念。这恰恰就是数学家解决问题的基本方法，“观察抽象—>概念模型—>猜想—>证明—>推广与应用”，所以需要引入新的概念。

设有$A$、$B$两个集合，若在它们之间能够建立一个双射，则称两个集合对等，记为$A=B$。

3 可数集

根据我们数数的经验，告诉我们，我们其实是以自然数集作为天然的计数方式，然后将计数对象与自然数集合中的元素一一对应。而自然数集又恰恰是一个无穷集合，所以我们展开对无穷集合的探索时，从自然数集入手或许会有一些好处。

康托通过引入“对等”这一概念，描述了两个集合的关系。然后他选取自然数集合作为标准，把无穷集按着是否能与自然数集建立对等关系分为了两类，能够与自然数集合对等的便称之为可数集，其他的成为不可数集。

引入概念 定义: 可数集 不可数集

凡是与自然数集$N={0,1,2,\cdots,n,\cdots}$ 对等的集合都称之为可数无穷集，简称可数集。

也可以说， 若从自然数集$N$到集合$X$存在一个一一对应（双射）$f:N\rightarrow X$,则称集合$X$是可数无穷集。

凡不能与自然数集$N$对等的无穷集合都称为不可数无穷集。

注意：可数与不可数都是对无穷集合而言的。

如果某一集合可数，也就意味着，它能够和自然数集中的元素一一对应，那么也可以与自然数集合一样，形成类似的排列,即从第一个元素数起，后面有着唯一的后续，并且每个元素都可以数到且不重不漏。当然，也永远数不完。这个我们之后可以继续来讨论。

例子

当提出概念之后，这个概念会带来什么性质，能够与之前的体系融洽

1 证明 整数集 $Z$ 是一个可数集。

证明 ： 首先将整数集$Z$排成下面的序列： \(0,-1,1,-2,2,-3,3,\cdots,-n,n,-(n+1),\cdots\) 构造从$Z$到$N$的如下映射： \(f: Z\rightarrow N , f(x)= \left \{ \begin{aligned} |2x+1| \quad x<0 \\ 2x \quad x\geq0 \end{aligned} \right.\) 则$f$是一个双射。因此，整数集$Z$是一个可数集。

我们通过将元素A的集合进行排列，然后构建了一个双射，来证明整数集中的元素是和自然数集对等的。

这种排列和映射不是唯一的，而是人为构造的，可以尝试使用多种方法进行证明

2 证明 所有的偶数形成的集合 是一个可数集

证明： 首先将所有偶数形成的集合$E$排成下面的序列： \(0,2,2,-4,4,\cdots,-n,n,\cdots\) 构造从$Z$到$N$的如下映射： \(f: E\rightarrow N , f(x)= \left \{ \begin{aligned} |x+1| \quad x<0 \\ x \quad x\geq0 \end{aligned} \right.\) 则$f$是一个双射。因此，偶数集是一个可数集。

3 证明 有理数集Q 是一个可数集

显然，高度为$h$的有理数只有有穷个。

把所有有理数按着递增高度$h$进行编号，这样每一个有理数就得到了一个确定的号码,如下表所示。

因此有理数集就是一个可数集。

1873年，康托证明了 有理数集$Q$是一个可数集

4 证明 全体自然数 数偶 集 是一个可数集

证明：

自然数 数偶 指的是 有次序的两个自然数$(a,b)$对。

设$(p,q)$是一个自然数数偶，称$h=p+q$是其高度。

按着高度对自然数数偶进行编号，从而可以建立自然数数偶与自然数之间的一一对应（双射）$f$，如下表所示

5 证明 全体代数数的集合是一个可数集

证明 根据我们学习过程，以及整个代数的发展历史，数的范围的扩张 是从 自然数、整数、有理数、代数数、实数到复数的。

由有理数到代数数的扩充是在有理数的基础上增加以有理数为系数的方程的根来组成的。

一个数称为代数，是指 它是某一整系数方程： \(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0\) 的根。

显然，有理数是代数，因为对于有理数$a=\frac{p}{q}$,它是方程: $qx-p=0$的根。而代数数未必是有理数。

记$A_h$为高度为$h$的所有整系数方程的根集合，则$A_h$为有穷集合。

因此，全体代数数的集合$A$就是$A_1,A_2,\cdots,A_h,\cdots$的并集，即$A=\bigcup_{h=1}^{\infty} A_h$。

因此，$A$是可数集

例3,4,5的证明方法就是康托创立的证明可数集的常用方法——等高法。

4 连续统

我们从上面的三个例子中，得到了自然数、整数、有理数、代数数都是可数集，那么对于实数集呢？

1873年，康托证明了有理数集$Q$是可数集之后，他就开始思考实数集是否为可数集的问题了。同年12月，他证明了实数集是不可数集，从而证明了不可数无穷集的存在性。

大胆猜想——假设，实数集是不可数集

不用证明整个实数集是不可数，只需证明开区间$(0,1)$中的所有实数是不可数集即可

定理 开区间$(0,1)$中所有的实数构成的集合是不可数集。

小心求证

利用反证法证明

假设开区间$(0,1)$中的所有实数构成的集合是可数集

事实上，开区间$(0,1)$中的每个实数，都可以写成唯一的十进制无穷位小数形式$0,c_1c_2c_3\cdots$。其中，每个$c_i\in{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$。若其中某些数有两种表现形式，例如$\frac{1}{2}=0.5000\cdots=0.4999\cdots$。约定只取一种，也就是说不把其表现为有限位数小数，也不表示成为一个尾巴全为0的无限小数，只取其中含有无限多个非$0$的数字的表示形式，这样每个小数都有唯一的十进制无穷位小数表示形式了。

于是，将开区间$(0,1)$中的所有实数可排成一个无穷序列： \(a_1，a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\) 每个$a_i$写成十进制无限小数形式排列如下： \(a_1=0. \mathbf{a_{11}} a_{12}a_{13}\cdots a_{1n}\cdots \\ a_2=0.a_{21}\mathbf a_{22}a_{23}\cdots a_{2n}\cdots \\ a_3=0.a_{31}a_{32}\mathbf a_{33}\cdots a_{3n}\cdots \\ \cdots \\ a_n=0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\cdots \mathbf a_{nn}\cdots \\ \cdots\) 其中，每个$a_{ij}\in{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$.

现在构造一个新的小数$b=0.b_1b_2b_3\cdots b_n\cdots$，其中每个$b_i\in{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$，其定义为 \(b_i= \left \{ \begin{aligned} 2 \quad 若a_{ij}=9 \\ a_{ij}+1 \quad 若a_{ij}\neq9 \end{aligned} \right. \quad i=1,2,\cdots\) 这样，构造得到的$b=0.(\mathbf{a_{11}}+1)(\mathbf{a_{22}}+1)(\mathbf{a_{33}}+1)\cdots(\mathbf{a_{nn}}+1)\cdots$

其小数点后第一位不等于$a_1$的小数点后第一位$a_{11}$， 小数点后第二位不等于$a_2$的小数点后第二位$a_{22}$，……，小数点后第$i$位不等于$a_i$的小数点后第$i$位$a_{ii}$，

由此便使得$b$不同于任何$a_i(i=1,2,\cdots)$。

显然，由$b$的上述构造方法可知新小数$b$确实属于实数区间$(0,1)$

从而出现矛盾

所以，开区间$(0,1)$中的所有实数构成的集合是不可数集

习惯上，将上面证明中构造与$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$每个均不相等的新小数$b$的方法称为康托对角线法。其本质就是使新小数$b$的$b_1,b_2,b_3,\cdots, b_n,\cdots$与$a_1,a_2,a_3,\cdots, a_n,\cdots$上述排列中对角线上的元素$a_{11},a_{11},a_{11},\cdots$分别不相等，从而保证了$b$与每个$a_i$不相等

由于$(0,1)$中的所有实数构成的集合是$R$的子集，因此实数集是不可数的。

也就是说，同样是无穷集，实数集中的元素的“个数”比可数集中的元素“个数”高出了一个级别，这说明无穷集是分级别的。

康托把与实数对等的集合称为连续统。

5 基数

根据上面的介绍，自然数集作为我们默认的计数系统，在我们日常经验中已经用来计数可数集中元素的个数。而可数集的定义，又将其作为一个衡量无穷集合数量的标准。

上面已经证明了可数集和不可数集的存在性，那么大家有没有产生很多疑惑

可数集和不可数集都是无穷的，而不可数集里的元素数量又多于可数集，那它们到底差了多少呢？

还有就是，目前实数集看来已经是元素数量最多的集合了，那有没有比连续统元素更多的集合呢？

首先，我们尝试回答第一个问题，

对于自然数集，我们将其作为判断集合是否为可数集的标准，那我们是不是可以直接定义一个符号，来表示自然数集中元素的数量，那么这样所有的可数集就都可以用这个符号来表示集合里的元素的数量了。

嗯，听起来很简单就把这个问题解决了，但其实还有一个前置问题，有穷集合里的元素是可数的，可以用我们生活中的数量来刻画，但是无穷集合中的“数量”好像和我们熟悉概念中的数量，有些差别哎，

好接下来我们就先来定义无穷集合的数量这个概念，然后，再定义一个符号表示自然数集和实数集中的元素数量

引入概念 定义 基数

通过上面定义，我们就得到了基数的概念，它就是有穷集合的元素数量，在无穷集上的推广，用来刻画集合中元素数量的多少

有了势的概念，我们就可以给自然数集和实数集的势定义符号了。

阿列夫0

康托定义

：把自然数集视为一个整体，用符号$\aleph_0$表示，作为自然数集的基数。

由于它是$N$这一无穷集的基数，因此康托创造了一种新的数字类型——超穷数。

: 规定实数集基数为$C$.

显然有 $C >\aleph_0$

6 更大的集合

我们上面知道 实数集中元素的数量是要多于自然数集的数量的，并且我们还人为给定了表述这两个数量的符号，并因此创造出了新的数字类型

但让我们继续追问关于无穷的问题，那就是有没有比实数集元素更多的集合呢，

让我们尝试回答这个问题，

1 我们首先一个自然的想法就是在实数集上面再加一些元素就好了。

例如对于自然数集$N={0,1,2,\cdots,n,\cdots}$，如果我们添加上一个元素$-1$构造得到一个新的集合${-1,0,1,\cdots,n,\cdots}$，然后我们再来比较这两个集合的元素数量，但是遗憾的是，我们新构造得到的集合仍然是一个可数集，因为显然它可以通过$n+1$与自然数集构成一个双射。

哈哈哈，这里是不是有些奇怪，新构建的集合明明多了一个元素，为什么数量还是一样多呢，这就是无穷集合的神奇之处

让我们回到之前的想法，对于自然数集，我们构造一个超越自然数集的方法失败了，对于实数集合，我们发现我们在构造的时候，似乎遇到了更大的问题，因为我们目前数的范围只到实数，我们实在不知道还能再添加什么不在实数范围内的元素。

好了，这条路看来是走不通了

2 由集合构造集合，除了上面的粗暴的方法，我们其实还有很多方法，例如集合的元素构成笛卡尔积，还有集合的幂集等。并且我们其实知道在有穷集合中，集合的幂集的元素的数量是要比原集合要多的，那么我们能够借助幂集的定义，看看无穷集上的幂集会出现什么，也就是我们尝试将幂集的概念在无穷集上做一个推广

大胆猜想 ——假设 无穷集的幂集 里的元素的数量要比原集合多

定理 康托定理 康托最大集合不存在定理

小心求证

证明： 构造$f: A\rightarrow P(A)$，对于任意$x\in A$，有$f(x)=x$

理解：$f$是单射，则映射的像是幂集$P(A)$的子集，所以集合$A$里面元素的数量只可能少于等于幂集$P(A)$。

再令$a=g^{-1}(B)$，则$a\in A$且$g(a)=B$

任给$a\in A$，由$B$的定义可得：$x\in B \equiv x\notin g(x)$

所以，对于$a\in A$，就有$a\in B \equiv x\notin g(a)$，即$a\in B \equiv a \notin B$

显然，矛盾

通过这个定理，我们能得到什么呢？

1 对于任意集合$A$，总是可以构造它的幂集，而他的幂集的元素数量是多于原集合的，这也就说明，不存在最大的集合

2 对与上述构造方式，对于幂集，当集合是有穷集合是，若$

A

=n$,则$P(A)=

2^n

$

当我们定义自然数集合的个数为$\aleph_0$之后，自然可以得到$P(N)=2^{\aleph_0}$，由康托定理得知，$\aleph_0<2^{\aleph_0}$,

然后我们对自然数的幂集可以继续利用康托定理，就能得到$

N

=\aleph_0<2^{

N

}<2^{2^{

N

}}<\cdots$

3 那么之前定义实数集的数量$C$和这些阿列夫数之间又有什么关系呢，康托证明了$P(N)=C$

于是上面的递推式子就可以写成

$

N

=\aleph_0<C = 2^{

N

}<2^{2^{

N

}}=2^{2^C}<\cdots$

4 该定理说明，自然数$N$的子集数量 就是 (0,1)上的实数数量 就是 实数的数量 就是 直线上实数的数量 就是 平面上实数的数量

7 连续统假设

康托发现了两个基数${\aleph_0}$和$C=2^{\aleph_0}$并且 ${\aleph_0} <C=2^{\aleph_0}$之后，他又提出有没有介于${\aleph_0}$和$C$之间的超穷基数的问题，被后人称之为连续统假设

1980年，又被推广到 阿列夫谱系中任意两个相邻的超穷基数之间有没有其他基数，这就是广义的连续统假设