集合论2序数——从自然数系统到无穷集合的排序

我们上一节，回答了下面几个关键问题

1 一个无穷集合有多少个元素？——自然数集：$\aleph_0$，实数集：$C=2^{\aleph_0}$

2 不同的无穷集合里的元素“数量”是否有差异？——可数集（自然数集），不可数集（实数集—连续统）

3 有没有比实数集元素更多的集合呢？——实数集的幂集

上面的探索解决了，无穷集合的数量问题，

但大家有没有想到，自然数集合还带有一个重要特征那就是在数数的时候我们不仅利用了其数量关系，还利用了其序数关系，

并且我们在证明有理数集$Q$是一个可数集的时候，是根据高度将元素进行排序，最后编号后的元素也是符合自然数计数系统的规律，

那么我们自然想问，对于其他的无穷集合，也能够形成类似自然数系统的排列吗？也就是说无穷集合里的元素是否也存在类似的次序关系

1 自然数系统

我们首先对自己已经熟悉的自然数计数系统进行剖析，站在数学理论的角度来看一下这个我们已经熟悉的东西。

自然数系统，是大家从幼儿园学得并常用的东西。自然数不但能够回答”有多少的”，还能回答“第一个”，也就是说，它既表述数量又表示次序

对于这个大家默认的系统，随着数学“公理化”思潮影响下，数学家尝试对自然数系统从概念上给出定义

皮亚诺 自然数公理系统

1889 皮亚诺 提出了第一个自然数公理系统，他使用两个不加定义的概念”0”和“后继者”以及五个公理来定义自然数系统：

令$N$表示自然数的集合，那么$N$是指满足以下条件的非空集合：

（1）$0$ 是自然数，即$0\in N$;

（2）每一个自然数$n$均有一个确定的后续$n^{+}$；

（3）没有以$0$为后续的自然数；

（4）若$n^{+}=m^{+}$，则$m=n$，即自然数有且只有一个自然数作为其后续；

（5）若$S\subseteq N$，而$0\in S$，且当任意一个自然数$n\in S$，则$n$的后续$n^{+}\in S$。那么，$S=N$。

(2)被称为继元公理，（5）被称为归纳公理。归纳公理是第一数学归纳法的基础

这个公理只涉及到了 0和后继 这两个基本概念，

数学归纳法

定理 设$P(n)$是关于自然数$n$的一个性质或命题。

若(1) 当$n=0$时，$P(0)$成立；

（2）由$P(n)$成立必可推出$P(n+1)$成立。

那么，$P(n)$对于所有自然数成立。

证明：

设使$P(n)$成立的所有自然数$n$组成的集合为$S$。$S \subseteq N$

由条件（1）可知，$0 \in S$;

由条件(2)可知，若$n\in S$，则$n$的后续$n^{+}\in S$，那么$S=N$

所以由归纳公理可知，$S=N$

在自然数系统上我们可以进行加法和乘法运算，这是我们已经熟悉的，另外自然数系统还具有序数关系，我们可以从数学上对这种序数关系进行定义并研究其性质。

引入概念 定义 大于 小于

设$a,b\in N$，且$a \neq b$，若存在$k \in N$，使得$a=b+k$，则称$a$大于$b$，记作$a>b$；或称$b$小于$a$，记作$a<b$。

我们可以看到，这个定义是根据加法运算来定义的，也就是说序数关系的定义依赖与数量关系，这说明两者一体两面的特性

引入概念 定义 自然顺序

把按着小于关系定义的自然数集合的顺序称为自然顺序。

也就是我们熟悉的 0,1,2,3,4,…

有了严格的数学定义的概念，自然也随之带来一些独特的性质

1 传递性 若$a,b,c\in N$，并且$a<b$，$b<c$，则称$a<c$

2 全序性 若$a,b\in N$，则下面三种关系有且只有一个成立：$a= b,a<b,a>b$

3 良序性 （最小自然数定理）

$N$的任何非空子集$T$必有最小自然数，即存在$t_0\in T$，使对任意的$t \in T$，必有$t_0 \leq t$，即$t_0$是$T$中的最小自然数

证明： 设$T$是$N$的子集，且$T \neq \empty$.

此外，因为$T$非空，任取$t_1\in T $，则$t_1+1>t_1$，所以$t_1+1\notin S$

因此，$S\neq N$。由归纳定理可知，必有$s_0\in S$，使得：$s_0+1\notin S$

下面证明 必有$s_0 \in T$

若$s_0 \notin T$，

则由集合$S$的定义，对于任意的$t\in T$必有$t>s_0$成立，因此$t\geq s_0+1$

这表明$s_0+1\in S$

这与上述所得的$s_0+1 \notin S$矛盾！ 取$t_0=s_0$，$t_0$即为$T$中的最小自然数，

从而定理得证

最小自然数定理说明，$N$的任意子集都能有一个最小的自然数，这样就能够从这个最小自然数按着升序来进行继续排序下去

第二数学归纳法

设$P(n)$是关于自然数$n$的一个性质或命题。若

（1）当$n=0$时，$P(n)$成立

（2）设$n>0$时，若对所有自然数$m<n$, $P(m)$成立，则必可以推出$P(n)$成立.

那么,$P(n)$对于所有自然数成立。

证明：

假设定理不成立，设$T$是使$P(n)$不成立的所有自然数组成的集合，$T$非空。

由最小自然数定理可知，$T$必有最小自然数$t_0$

由于$P(0)$成立，所以$t_0 > 1$

由条件（2）可知，必有自然数$m<t_0$，使得$P(m)$不成立

由$T$的定义可知 $m\in T$

但这与$t_0$是最小自然数矛盾

所以，定理成立

2 全序集 良序集

在自然数集，我们有自然顺序的概念，那么我们时候能在无穷集合上也定义类似自然顺序的概念呢，这样我们就能参照自然数集来对无穷集上的次序关系进行划分.

回顾上面的只是，在定义自然顺序之前，我们在自然数集上面定义了 大于小于的关系，

但是对于其他集合，元素不一定是自然数，也就不一定存在数值上的大于小于关系

那么我们能否在不同集合的元素上定义一个类似于自然数集的数值大小关系？

不同集合的可比较性质可能差别很大，怎么来统一地定义对这个关系的描述呢？

对于任意一个集合，由于该集合上的元素可以形成不同的排列，也就存在着不同的全序关系。

只有当两个全序集合元素个数(基数)相同，而且次序也相同时，两个全序集才相同。

因此，康托在无穷集合上也引入了全序集的概念，以便于对无穷集合内元素的排序进行研究。

引入概念 定义 序同构

在研究基数时，我们从 一一对应 这个思想出发，使用双射定义了集合对等的概念，然后根据能否与自然数集对等对无穷集合进行了划分

我们在研究无穷集合的排列时，也可以参照上述思想，将自然数集的排列形式作为参照进行划分，同样的，我们也需要定义一个新的概念，来描述两个集合的排序之间的关系

设有$A,B$两个全序集，若有一个双射$f:A \rightarrow B$，使得对于任意$a,b\in A$，只要$a \preceq b$，就有$f(a) \preceq f(b)$，即在双射$f$下两集合的元素保序，则称两个集合是相似的（序同构的），记为$A \sim B$。称双射$f$为相似映射。

有了上面集合相似的定义，就能够类似上面研究无穷集合上的序列关系

引入概念 定义 序型

将所有全序集按着相似关系（等价关系）划分为若干个等价类，而对于每一类的全序集，均可以找一个代表来表示该类，而且这个代表该类的全序集$A$所规定的次序形式就是该全序集的序型，可以用一个符号表示。

根据序型的定义，同一个集合里的元素能够排列成不同的全序集，那么对应的序型也是不同的。

根据序型，我们就对不同排列的集合进行了分类

引入概念 定义 良序集

我们想要根据自然数序列的形式来对不同的集合进行划分，那么从上述自然数系统，我们能够得知，自然数序列的最大两个特点就是 0和后续，所以我们参照自然顺序为类似序列进行了定义

对于一个全序集$A$,若它的任何非空子集（保留元素之间的原有次序）都有首元素（最前元素），则称该全序集$A$为良序集或正序集

此时，$A$上的全序关系称为$A$上的良序关系，简称$A$上的良序，用符号$\preceq $表示。

利用序同构的定义，能够将所有的良序集划分为若干等价类，每一等价类有一个代表，它的次序形式就是序型，

良序集重要的一点是它规定了，非空子集必须要有首元素，这样我们总是可以从这个首元素出发，对所有排列的数字

3 序数

引入概念 定义 序数

为所有彼此相似的良序集的序型指定一个编号，称为序数

有了序数的定义，我们就可以得到

如果有$n$个元素组成的有序集与${0,1,2,\cdots,n-1}$相似，并且${0,1,2,\cdots,n-1}$是良序集，因此由$n$个元素组成的有序集的序型$n$是其序数

但在无穷时，一个无穷良序集合的序数如何编号呢？

我们可以参照基数的定义，为无穷集的序数定义一个符号

引入概念 符号 超穷序数

是的，接下来，康托定义了一个符号，

康托在实无穷的思想下，把依自然顺序的全体自然数视为集合$N$,而该自然序列之后的第一个数为$\omega$，它是一个超穷序数，比任意的自然数都大。他也是依自然顺序的全体自然数$N$的序型。

那么其他序数如何定义呢？

至此，对已有的依自然顺序排列的序数序列为 \(0,1,2，\cdots,n-1,\cdots,\omega\) 不难发现其构造方式如下：

（1）起始。0是第一个序数，它没有前驱，只有后驱序数$1$.

（2）后继运算（根据延伸原则）。除$\omega$以外，上述序列中的任何一个序数均有后继。除序数0和$\omega$外，任何一个序数均是其前驱序数加1运算的结果。

（3）产生序列的上确界(根据穷竭原则)。$\omega$可以视为依自然顺序排列的自然数序列的永远达不到的极限，即是经过无穷多个后继运算后的上确界（该上确界是无穷并集运算的结果）。因此$\omega$没有直接前驱。

根据上述构造方式，将$\omega$视为最小的无穷序数，并作为新的起点，反复应用后继运算，累计到（可数）无穷次时，产生这个序数序列的上确界。总之这种构造可以永无止境地继续下去，便可构造出如下越来越长的超穷序数序列： \(\omega，\omega+1，\omega+2,\cdots ; \omega+\omega,\omega2+1,\omega2+2,\cdots;\cdots;\omega^{\omega^\omega},\omega^{\omega^\omega}+1,\omega^{\omega^\omega}+2,\cdots;\cdots\) 该序列中，通过后继运算构造出的序数称为后继序数，不是通过后继运算构造出来的非$0$序数称为极限序数，上面的$\omega,\omega2,\cdots$都是极限序数。

上述序列中的每一个超穷序数所代表的良序集，就是全体自然数集$N$按着不同的次序排列而得到的不同良序集中的一种，而这些良序集均为可数无穷集，因此把可数的良序集的序型称为可数超穷序数。

序数与基数的关系

在无穷集合上，我们定义了基数和序数两个超越可数集合无穷的概念，

从定义上看，基数是所有对等的集合的抽象，是集合中的元素数量这一概念，在无穷集合上的推广。

序数是所有序同构的良序集合的抽象，是集合的元素的次序这一概念，在无穷集合上的推广。

根据两者的定义，我们有

对于任意的集合$A$和$B$，若$A \sim B$,即集合$A$与集合$B$序同构，则$A\simeq B$，即集合$A$与集合$B$对等

注意其反命题不一定成立，但是当集合$A$与集合$B$均为有穷集合时会成立。

定理 有穷集合上 集合的等价关系 与集合的序同构关系是充要条件

设$<A,\prec>$和$<B,\prec>$是两个有穷的全序集，则$A\sim B$ 等价于$A\simeq B$

根据这个定理， 有穷集合上的基数和序数可以用同一符号表示，而该符号恰好是自然数，这说明基数和序数两个概念在有穷集下是一致的。

对于构造的序列（2），其上确界是什么？这个序数就是第一个不可数的序数。如何如果它是可数的，那么这个序列再加1还是可数序列，与它是可数序列的上确界是矛盾的。

引入概念 定义 可数序数的上确界是第一个不可数序数，也是不可数的基数

定义

所有可数序列的上确界是第一个不可数序数，记为$\omega_1$，它也是第一个不可数的基数，也记为$\alef_1$,它还是全体可数超穷序数构成的集合的基数。

所有基数为$\alef_1$的序数的上确界是第二个不可数基数，记为$\alef_2$或$\omega_2$

类似地可定义$\alef_3$或$\omega_3$

序数与基数对应关系如下

可以看出在无穷集合上，序数与基数不再是统一的定义，而是出现了分离。这是因为序数和基数的定义，与可数不可数的概念之间的关系。